School

Структура на движението

а) токова линия - крива, която е допирателна във всяка своя точка към скоростта на флуидна частица в същата точка

• стационарен флуид - флуид, чиито токови линии остават непроменени във времето

б) токова тръба - повърхност, съставена от токови линия

Видове движение на флуид

а) ламинарно течение - постоянен поток на флуида, чиито отделни слоеве не взаимодействат помежду си

б) турбулентно течение - хаотично движение на флуида, което започва след достигането на опрелена скорост

• колкото по-висок е вискозитетът на флуида, толкова по-трудно той може да тече турбулентно

Поток (${\Phi }_{\vec{v}},[\frac{\text{m³}}{s}]$) - обемът флуид, който преминава през дадено напречно сечение на съда за единица време

$${\Phi }_{\vec{v}}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{dV}{dt}$$

a) скоростта на флуида е перпендикулярна на сечението и еднаква в рамките на него: ${\Phi }_{\vec{v}}=Sv$

Доказателство:

За време $dt$ флуидът изминава път $ds=vdt$ и изтеклият флуид през сечението $S$ сега се намира в цилиндър с обем

$$dV=Sds=S\cdot (vdt)$$

б) скоростта сключва ъгъл $\alpha$ с перпендикуляра към площта: ${\Phi }_{\vec{v}}=Sv\cos \alpha$

Доказателство:

Потокът е същият като през проекцията на площта $S$, перпендикулярна на скоростта.

$${\Phi }_{\vec{v}}=v{S}_{\perp }$$

Тъй като ъгълът между равнината на $S$ и равнината на $S_{\perp }$ е $\alpha$, $S_{\perp }=S\cos \alpha$.

Ако въведем вектор на площта $\vec{S}$ с големина $S$ и посока - перпендикулярна на площта, то

$${\Phi }_{\vec{v}}=\vec{v}\cdot \vec{S}$$

в) произволна крива повърхност, различни скорости в рамките на повърхността: ${\Phi }_{\vec{v}}={\int }_S\vec{v}\cdot d\vec{S}$

Доказателство:

За всяко безкрайно малко парче от площта $dS$ може да приемем, че е приблизително плоско и скоростта $\vec{v}$ е еднаква в рамките на парчето. Тогава потокът през това парче е $d{\Phi }_{\vec{v}}=\vec{v}\cdot d\vec{S}$. Целият поток е

$${\Phi }_{\vec{v}}={\int }_S\vec{v}\cdot d\vec{S}$$

Уравнение на непрекъснатост - потокът на идеален флуид е постоянен

$${\Phi }_{\vec{v}}=\text{const}⟹S_1{v}_1=S_2{v}_2$$

• през по-тесни участъци флуидът тече по-бързо

Доказателство (с щипка лъжи):

Идеалният флуид е некомпресируем - между двете напречни сечения не може да се струпва маса, защото това би променило плътността

Уравнение на Бернули - закон за запазване на енергията на идеален флуид

$$\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\text{const}$$

Доказателство